Tämä blogipostaus perustuu pitkälti Gregory F. Fawlerin erinomaiseen luentomonisteeseen. Tässä postauksessa on lyhyesti referoitu keskeisimpiä osia ja jätetty monia tärkeitä yksityiskohtia erikseen mainitsematta ja todistamatta. Suosittelenkin lämpimästi lähdeaineiston lukemista, jos aihe vain vähääkään kiinnostaa.
Ehdollinen todennäköisyys ja odotusarvo
Ehdollinen todennäköisyys kirjoitetaan
\begin{equation}P(Y|X),\end{equation}
eli tapahtuman Y kohdalla tiedetään X sekä kahden olevan keskenään toisistaan riippuvaisia. Tällainen voisi olla esimerkiksi perinnöllinen sairaus perheessä: tällöin riippumattomuusoletus johtaisi yhden lapsen sairastumisesta muiden perheenjäsenten sairauden todennäköisyyden vähenemiseen, kun riippuvuusoletuksella tulos on päinvastainen, ja yhden sairastuminen lisää muidenkin riskiä sairastua, sillä nämä jakavat keskenään vanhempiensa geneettisen perimän.
Ehdollinen odotusarvo voidaan kirjoittaa muodossa
\begin{equation}E(Y|F_n),\end{equation}
missä F_n eli filtraatio viittaa tapahtumaa Y edeltävään informaatioon.
Kävin tämän aiheen perusteellisemmin läpi gradussani, joten en mene tässä aivan perustasoa pidemmälle.
Martingaalit
Martingaalien teoria perustuu ehdollisen odotusarvon perustalle. Tällöin oletuksella n < t, martingaalille pätee
\begin{equation}E(M_t|F_n)=M_n.\end{equation}
Toisin sanoen martingaalin M_t odotusarvo on sen ehtoa vastaavan informaation hetken martingaali M_n. Martingaalia voisi käytännössä havainnollistaa reilulla kolikonheitolla, jossa kummallakin pelaajalla on tasaväkiset mahdollisuudet voittaa.
Martingaali voidaan kirjoittaa myös muodossa
\begin{equation}E(M_n-M_m | F_m)=0,\end{equation}
eli riippumatta hetkestä tai historiasta, tämän hetken odotetun voiton suuruus on 0.
Kyseessä on supermartingaali jos
\begin{equation}E(M_t|F_n) \leq M_n\end{equation}
ja submartingaali jos
\begin{equation}E(M_t|F_n) \geq M_n.\end{equation}
Jos martingaalille pätee jompi kumpi annetuista määritelmistä, aiempaa kolikonheittoesimerkkiä soveltaen, peli suosii jompaa kumpaa pelaajista, eikä mahdollisuus voittaa siksi ole tasaväkinen.
Brownin liike, stokastinen integrointi
Brownin liike tai Wiener-prosessi on jatkuva satunnaisuutta kuvaava malli. Olkoon B_t=B(t) satunnainen arvo hetkellä t. Näiden satunnaisten arvojen välille oletetaan korrelaatiota sekä t -> B(t) oletetaan satunnaisfunktioksi. Satunnaisprosessia B(t) sanotaan yksiulotteiseksi Brownin liikkeeksi satunnaiskululla m ja varianssilla sigma^2, jos seuraavat ehdot pätevät:
1. B_0=0
2. Kun s<t, S_t-S_s on normaalijakauma varianssilla sigma² ja satunnaiskululla m.
3. Jos s<t, satunnaismuuttuja B_t-B_s on riippumaton muuttujasta B_r kun r <= s.
4. Funktio t -> B_t on muuttujan t jatkuva funktio todennäköisyydellä 1.
Jos lisäksi sigma² = 0 ja m = 1, on kyseessä standardi Brownin liike. Oletetaan seuraavaksi B_t standardiksi Brownin liikkeeksi. Tällöin Brownin liike voidaan kirjoittaa muodossa
\begin{equation}Y_t=\sigma B_t + mt,\end{equation}
missä Y_t on normaalisti jakautunut Brownin liike, jolla variaatio on sigma² ja satunnaiskulku m. Muuttujan B_t standardiudesta siis seuraa muuttujan Y_t yleinen normaalijakautuneisuus.
Stokastinen differentiaaliyhtälö voidaan kirjoittaa muodossa
\begin{equation}dX_t = m(t,X_t)+\sigma (t,X_t)B_t, \end{equation}
missä B_t on standardi Brownin liike. Stokastinen differentiaaliyhtälö kirjoitetaan siis samoin kuin aiemmin mainitti normaali Brownin liike Y_t, mutta muuttujan B_t tilalle voidaan valita jokin useasta eri tavoin jakautuneesta satunnaisprosessista. Annetun differentiaaliyhtälön ratkaisu on muotoa
\begin{equation}X_t = X_0 + \int_0^t m(s,X_s)ds + \int_0^t \sigma (s,X_s)dB_s.\end{equation}
Iton kaava, kun oletukset ovat yksinkertaisimmillaan:
\begin{equation}df(B_t)=f'(B_t)dB_t+\frac{1}{2}f''(B_t)dt.\end{equation}
Iton kaava, kun otetaan huomioon aika ja paikka:
\begin{equation}df(B_t)=\partial_x f(B_t)dB_t+(\partial_{t} f(B_t)+ \frac{1}{2}\partial_{xx}f''(B_t))dt.\end{equation}
Prosessia X_t sanotaan geometriseksi Brownin liikkeeksi, jos standardilla Brownin liikkeellä B_t, varianssilla sigma² sekä satunnaiskululla m pätee
\begin{equation}X_t=mX_t dt+ \sigma X_t dB_t = X_t(mdt+\sigma dB_t).\end{equation}
Samainen prosessi on keskeisellä sijalla rahoitusalan sovelluksissa ja
Black-Scholesissa, joten tämän kanssa kannattaa olla tarkkana.
Radon-Nikodym, Girsanovin teoreema
Olkoon u,v sigma-äärellisiä avaruudessa (omega,F) ja v << u. Tällöin on olemassa funktio f, jolle pätee kaikilla E
\begin{equation}v(E)=\int_E du.\int\end{equation}
Funktiota f sanotaan mitan v Radon-Nikodym-derivaataksi suhteessa mittaan u. Funktiota merkitään
\begin{equation}f=\frac{dv}{du}.\end{equation}
Oletetaan seuraavaksi todennäköisyysavaruus (omega,F,P) ja todennäköisyysmitta Q, jolla pätee Q << P. Tällöin Radon-Nikodym-derivaatta
\begin{equation}X=\frac{dQ}{dP}\end{equation}
on ei-negatiivinen muuttuja, jonka odotusarvo on E(X)=1. Jos A on tapahtuma, voidaan kirjoittaa
\begin{equation}Q(A)=E_P(X1_A).\end{equation}
Todennäköisyysmittojen P ja Q odotusarvojen suhde voidaan vielä erikseen kirjoittaa muodossa
\begin{equation}E_Q(A)=E_P(X \frac{dQ}{dP})\end{equation}
Sovelletaan aiempia tuloksia pohjustamalla Girsanovin teoreemaa muutamilla aputuloksilla. Olkoon ei-negatiivinen martingaali M_t, jolle on voimassa
\begin{equation}dM_t = M_t A_t dB_t,\end{equation}
ja jonka ratkaisu on muotoa
\begin{equation}M_t = e^{Y_t}, Y_t = \int_0^t A_s dB_s - \frac{1}{2} \int_0^t (A_s)^2 ds.\end{equation}
Oletetaan seuraavaksi, että ratkaisu on martingaali, vaikka näin ei aina välttämättä olekaan. Määritellään sen avulla mitta P*: jos V on F_t-mitallinen tapahtuma, niin pätee
\begin{equation}P*=E(1_V M_t).\end{equation}
Jos oletamme, että mitat P ja P* on määritelty F_t-mitallisissa tapahtumissa, voidaan kirjoittaa
\begin{equation}\frac{dP*}{dP}=M_t,\end{equation}
mikä vastaa siis aiemmin määriteltyä Radon-Nikodym-derivaattaa. Seuraavaksi huomataan, että jos s < t ja V on F_s-mitallinen tapahtuma, niin V on myös F_t-mitallinen tapahtuma, jolloin siis pätee
\begin{equation}E(1_V M_s)=E(1_V M_t)\end{equation}
sekä F_t-mitallisella muuttujalla X
\begin{equation}E*(X)=E(X M_t).\end{equation}
Olkoon mitta P* kuten äskeisessä. Tällöin Girsanovin teoreeman mukaan yhtälössä
\begin{equation} dBt = A_t dt + dW_t\end{equation}
W_t on P*-mitallinen standardi Brownin liike, jolla on voimassa
\begin{equation}W_t = B_t - \int_0^t A_s ds.\end{equation}
Seuraava lyhyt esimerkki on peräisin täältä.
Finanssimatematiikassa Girsanovia käytetään riskineutraalin stokastisen satunnaiskulun, rahoitusintrumentin hinnan, määrittelemiseen. Oletetaan seuraavassa todennäköisyysavaruus riskineutraalilla todennäköisyysmitalla Q.
Kirjoitetaan ensin stokastinen differentiaaliyhtälö
\begin{equation}dY_t = (\mu-r)Y_t dt + \sigma Y_t d B_t, \end{equation}
ja muunnetaan se muotoon
\begin{equation}dY_t = \sigma \frac{(\mu-r)}{\sigma}Y_t dt + \sigma Y_t d B_t, \end{equation}
ja edelleen
\begin{equation}dY_t = \sigma Y_t d(\frac{(\mu-r)}{\sigma}t + B_t)=\sigma Y dW_t,\end{equation}
eli toisin sanoen pätee
\begin{equation}dW_t = B_t - \frac{(r-\mu)}{\sigma}t = B_t - \int_0^t A_s ds.\end{equation}
aivan Girsanovin teoreeman mukaisesti.
Euler-Maruyama ja stokastisten funktioiden visualisointi
Stokastisten differentiayhtälöiden ja satunnaiskulun visualisoinniksi on olemassa perinteisestä Eulerin rekursiomenetelmästä johdettu hyödyllinen stokastinen sovellus, joka kantaa muotoa
\begin{equation}Y_{n+1}=Y_n + a(Y_N,\tau_n)\triangle t + b(Y_n,\tau_n) \triangle W_n, \end{equation}
missä kolmio-t kuvaa aikaintervallia sekä kolmio-W normaalijakautuneen satunnaisluvun hetken t erotusta sitä edeltäneestä hetken t-1 satunnaisluvusta. Seuraavassa esimerkkikuvassa on simuloitu koron satunnaiskulkua kuvaavan stokastisen Vasicek-mallin eri realisaatioita:
Euler-Maruyama on välttämätön työkalu stokastisten yhtälöiden parissa työskennellessä, sillä menetelmä yksinkertaistaa ja selkeyttää käytännön sovellusten suhteen niin tehokkaasti muuten varsin vaikeaselkoista stokastista analyysiä. Minulla on tästä pitkät pätkät määritelmineen päivineen eräässä vanhassa harjoitustehtävässäni, joten en pistä täydellistä kuvausta aiheesta tänne.
Feynman-Kac, rahoituksen stokastiset menetelmät ym. lisäteoriaa jatketaan myöhemmin toisessa, aiheeseen syvällisemmin keskittyvässä blogipostauksessa.
Käytetty R-koodi:
T0 <- 1
r0 <- 0.03
kappa <- 0.35
thetaQ <- 0.0035/kappa
sigma <- 0.05
hedge.points <- 500
simulations.total <- 5
maturity <- T0
dt <- maturity/(hedge.points+1)
timeline <- seq(0,maturity, dt)
f <- matrix(r0,(hedge.points+2),simulations.total)
vasicek_rate <- function(r,kappa,theta,sigma,dt){
expkappadt <- exp(-kappa*dt)
vasi_vola <- (sigma^2)*(1-expkappadt^2)/(2*kappa)
result <- r*expkappadt+theta*(1-expkappadt)+sqrt(vasi_vola)*rnorm(1)
return(result)
}
for(i in 2:(hedge.points+2)){
for(j in 1:simulations.total){
f[i,j]<- vasicek_rate(f[i-1,j],kappa,thetaQ,sigma,dt)
}
}
plot(timeline,f[,1], ylim=range(f,thetaQ), type="l", col=1,ylab="Korko (r)", xlab = "Hetki (t)")
for(j in 2:simulations.total){
lines(timeline,f[,j], col=j )
}
title(main="Koron satunnaiskulun simulaatio Vasicek-mallin mukaan")
Ei kommentteja:
Lähetä kommentti