(Tässä on jatkettu ensimmäisen osan lähteillä)
Levy-prosessi
Levyn prosessiksi sanotaan stokastista prosessia X_t, jonka ilmentymät ovat stationaarisia ja itsenäisiä. Brownin liikkeen kaltaista jatkuvaa polkua ei Levyn prosessilta vaadita, vain jatkuvuutta todennäköisyysmielesssä. Tässsä tapauksessa stationaarisuus tarkoittaa ilmentymän X_t - X_s todennäköisyysjakauman riippumista ainoastaan intervallin t-s pituudesta.
Edellisestä voidaan päätellä suoraan seuraavat säännönmukaisuudet:
- Jos X on Wiener-prosessi, on erotus X_t-X_s normaalisti jakautunut
- Jos X on Poisson-prosessi, on erotus X_t-X_s Poisson-jakautunut, jne.
- Brownin liike on jatkuva Levy-prosessi, Poisson ei-jatkuva, jne.
Edellisistä on myös huomioitava odotusarvot ja varianssit, joihin intervalli niin ikään vaikuttaa. Wienerissä odotusarvo on 0 sekä varianssi t-s, Poissonissa odotusarvo on lambda*(t-s).
Hyppyprosessissa stokastisen muuttujan kulku on diskreetti. Poisson-prosessi ja Markov-prosessi ovat hyppyprosesseja.
Satunnaismuuttujalla X on loputtomasti jaettavissa oleva jakama, jos normaalijakautuneella X on sama jakauma kun n määrällä ynnättyjä u/n ja sigma/n -normaalijakautuneita muuttujia. Sama pätee Poisson-jakaumalle. Poisson-prosessin tapahtuma-aika on eksponentiaalisesti jakautunut ja n:nen tapahtuman tapahtmahetki gammajakautunut.
Levy-prosessi on Markov- ja Feller-prosessi!
Poisson-prosessi
Poisson-prosessi on yksinkertainen Levy-hyppyprosessi. Olkoon p todennäköisyys ainakin yhdelle hypylle pisteestä x pisteeseen x+1 aikavälillä [t,t+s], ja hypyn intensiteetti on lambda, eli todennäköisyys yhdelle hypylle on karkeasti lambda*s. Aikavälillä (t,t+s) välillä sattuvien tapahtumien lukumäärä on
\begin{equation}Poisson(\lambda s).\end{equation}
Olkoon X_t hyppyjen määrä ajassa t. Tällöin voidaan kirjoittaa
\begin{equation}T=inf\{t : X_t = 1 \}, \end{equation}
mikä viittaa siis aikaan ennen ensimmäistä hyppyä. Kirjassa on annettu koko selonteko tämän johtamisesta, mutta käytännössä tämä johtaa suppenemisen vuoksi suoraan tulokseen
\begin{equation}P(T>t)=e^{-\lambda t},\end{equation}
sillä T noudattaa eksponentiaalijakaumaa.
