Isokliinit, virtaus- ja vaihekartat
Lotka-Volterran tasapainopisteitä ovat alfa/beta ja gamma/sigma. Piirretään näiden pohjalta isokliinit (alla), ja huomataan, että kun tasapainopiste 1:n yläpuolella populaatio A pienenee ja alapuolella kasvaa, populaatio B taas vähenee tasapainopiste 2:n vasemmalla ja kasvaa oikealla puolella. Kahden populaation dynamiikan yhteisvaikutusta on kuvattu mustalla nuolella:
Luciano da F. Costa on piirtänyt Lotka-Volterran dynamiikasta virtaus- ja vaihekartan, josta huomataan virtaussuunnan seuraavan isokliinien avulla saatua vaikutelmaa. Costan mallissa kaikki parametrit ovat 1, jolloin myös kahden isokliinin leikkauspiste on (1,1) ja kyseessä on epästabiili tasapainopiste. Koska pisteessä ominaisarvot olivat imaginäärisiä ilman reaalisia osia, on järjestelmä vaimentamaton oskillaattori.
Bifurkaatiot
Bifurkaatioilla tarkoitetaan väljimmillään yllättävää muutosta funktion laadullisessa käytöksessä. Satula-solmu-bifurkaatiossa kaksi tasapainopistettä kohtaavat ja eliminoivat toisensa, transkriittisessä bifurkaatiossa tasapainopisteiden stabiilisuusominaisuudet vaihtuvat, ja kahdentumisbifurkaatiossa tasapainopisteiden määrä vaihtelee arvojen muutoksen mukaan. Näiden lisäksi on myös Hopfin bifurkaatiossa, jossa tasapainopisteiden stabiilisuus- sekä jaksollisuusominaisuudet vaihtuvat. Aiheesta löytyy lisää informaatiota sekä muodolliset todistukset Parvisen luentomonisteesta (kevät 2022).
Seuraavassa nähtävän logistisen kartan ja bifurkaation tarkemmat laskennalliset perusteet löytyvät täältä. Aiemmin käsiteltiin logistista kasvumallia
\begin{equation}\frac{dN}{dt}=F(N)=rN(1-\frac{N}{K}). \end{equation}
Kirjoitetaan tässä logistinen funktio rekursiomuodossa
\begin{equation}x_{t+1}=rx_t(1-x_t),\end{equation}
jolla on haarukkabifurkaatiot kun r= 3,3.449, 3.544... Hyvin yksinkertaisena ideana on laskea funktion rekursiokaavan avulla uusia ilmentymiä ajassa t, laskea kiintopisteet ja arvioida niiden stabiilius sekä käyttäytyminen eri kasvuvakio r:n arvoilla. Kuten aiemmassa linkissä huomataan, alkaa rekursiofunktio monimutkaistuessaan saada yhä useampia juuria, joiden vuoksi koko yhtälö alkaa hajota toistuvien bifurkaatioiden sekä kiintopistedynamiikan vuoksi yhä kaoottisemmaksi ja hallitsemattomammaksi sotkuksi.Seuraavassa nähtävän logistisen funktion dynamiikan bifurkaatioiden Feigenbaumin kuvaajan R-koodi löytyy täältä
Kiehtovinta logistisessa funktiossa on, että vaikka sillä onkin kaoottisia vaiheita ja näennäisen loputtomasti bifurkaatioita, löytyy r=3 ja r<4 väliltä myös vakaita, ei-kaoottisia ja ei-bifurkaatioita aiheuttavia poikkeamia. Kun r >= 4, populaatio romahtaa. Logistisen bifrukaatiokasauman kiehtovista poikkeamista, kaaoksen teoriasta ja säännönmukaisuuksista on myös erinomainen Wikipedia-artikkeli myöhempää käyttöä varten.
Kaaos
Arkikielessä kaaoksella tarkoitetaan löyhästi jonkinlaista hallitsematonta epäjärjestystä. Matematiikassa kaaosta koskeva teoria on huomattavasti "tylsempää" ja määritelmät suurpiirteisempiä. Määritelmistä puhutaankin tässä kohtaa monikossa, sillä niitä riittää aiheelleen uskollisesti pökerryttävän suuri määrä. Seuraavassa muutama esimerkki:
(Kaaos Lin ja Yorken mukaan): Olkoon J reaaliakselin väli. Kuvaus f : J → J
on kaoottinen Lin ja Yorken mielessä, jos se on jatkuva ja sillä on kolmejaksoinen rata. Toisinaan vaaditaan lisäksi herkkä riippuvuus alkuehdoista.
(Kaaos Devaneyn mukaan). Olkoon X metrinen avaruus. Jatkuva kuvaus
f : X → X on kaoottinen Devaneyn mielessä joukossa X, jos seuraavat kolme ehtoa ovat voimassa:
1. f on topologisesti transitiivinen
2. kuvauksen f jaksolliset pisteet ovat tiheässä joukossa X
3. kuvauksella f on herkkä riippuvuus alkutilasta
Yllä mainitut määritelmät löytyvät tarkempine lisätietoineen Parvisen luentomonisteesta (kevät 2022).
Näiden lisäksi Feldman antaa kirjassaan Chaos and Dynamical Systems vielä seuraavan löyhän määritelmän: dynaaminen systeemi on kaoottinen, jos
1. sen aikariippuvainen kulku on deterministinen funktio
2. sen radat ovat rajoitettuja
3. sen radat ovat herkkiä lähtöoletuksille
4. sen radat ovat epäsäännöllisiä
Erikseen on mainittava, että vaikka kolme eri määritelmää tietyssä mielessä risteävätkin, ei yhden määritelmän mukainen kaaos välttämättä ole sitä kahden muun mukaan.
Ehkä kuuluisin kaikista kaoottisista epälineaarisita dynaamisista järjestelmistä on Lorenzin systeemi
\begin{equation}\frac{dx}{dt}\sigma (y-x)\end{equation}
\begin{equation}\frac{dy}{dt}x(\rho-z)-y\end{equation}
\begin{equation}\frac{dz}{dt}xy-\beta z,\end{equation}
joka kuvaa tasaisen, alta lämpenevän ja yltä viilenevän nestekerroksen dynamiikkaa. Kyseessä on epälineaarinen, epäjaksollinen, kolmiulotteinen deterministinen systeemi, jolla on kokonaiset kolme tasapainopistettä. Kun p=1, on funktiossa haarukkabifurkaatio. Kun taas p=28, sigma=10 ja beta = 8/3, on systeemillä kaoottisia ratkaisuja. Tällöin systeemi jää kiertämään äärettömästi Lorentzin attraktorin, kirjallisuudesta riippuen myös "oudon attraktorin" ympärille, ja systeemi hakeutuu kaikkiin kolmeen tasapainopisteeseen. Tällöin myös yllä annetut määritelmät pätevät, ja ratojen kuvaajaksi saadaan Wikipedian koodilla
Kaaosteorian attraktorit ovat oma kiehtova ryhmänsä, josta voisi kirjoittaa vaikka kuinka paljon. Tässä kuitenkin vain koskettiin aiheeseen näin yleisellä tasolla, joten ei siitä sen enempää. Ehkä joskus myöhemmin kirjoittanen aiheesta lisää.
Ei kommentteja:
Lähetä kommentti