Mallien johtaminen
Oletetaan, että olemme tehneet joukon havaintoja ilmiöstä A suhteessa B. Huomataan, että havaintojen perusteella voidaan kirjoittaa kaksiulotteinen suora. Havaintojemme perusteella voidaan siis kirjoittaa suoralle yhtälö
\begin{equation}y-y_0 = k(x-x_0) \end{equation}
missä k on suoran kulmakerroin, eli
\begin{equation}k = \frac{\triangle y}{\triangle x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.\end{equation}
Näin siis yksinkertaisten havaintojen avulla voidaan kirjoittaa ilmiötä yleisesti tai monimutkaisempaa likimain hetkellisesti kuvaava suoran yhtälö, johon havaintoarvoja x asettamalla voidaan arvioida y suuruutta sekä toisin päin.
Otetaan seuraavaksi tarkasteluun logistista mallia käsittelevästä postauksesta tuttu esimerkki eksponentiaalisen kasvun kaavan johtamisesta. Olkoon siis x(t) populaation koko hetkellä t, b syntyneiden määrä ja d kuolleiden määrä hetkellä t. Saadaan
\begin{equation}x(t+\triangle t)=x(t)+b \triangle t x(t) -d \triangle t x(t) \end{equation}\begin{equation}\frac{x(t+\triangle t)-x(t)}{\triangle t}=(b-d)x(t) \end{equation}
kun t lähestyy nollaa, saadaan differentiaaliyhtälöksi
\begin{equation}\frac{dx}{dt}=(b-d)x(t) \end{equation}
sekä differentiaaliyhtälön ratkaisuksi
\begin{equation}x(t)=x_0 e^{rt}, \end{equation}
missä r on kasvuvauhti. Differentiaaliyhtälön ratkaisua kutsutaan eksponentiaaliseksi yhtälöksi.
Otetaan vielä yksinkertainen diskreetti esimerkki yleisen funktion muotoilemisesta, kun ilmiön tila tunnetaan hetkellä t. Kirjoitetaan
\begin{equation}x(t+1)=x(t)+\alpha, \end{equation}
menemällä ajassa taaksepäin ja sijoittamalla menneitä muuttujia x(t) sisäkkäin, saadaan ensin
\begin{equation}x(t+1)=(x(t-1)+\alpha)+\alpha\end{equation}
\begin{equation}x(t+1)=(x(t-2)+\alpha)+2\alpha,\end{equation}
ja niin edespäin. Menemällä tarpeeksi kauas taaksepäin saadaan yhtälöiden perusteella muotoiltua yleinen muoto:
\begin{equation}x(t+1)=x_0 + (t+1) \alpha \end{equation}
Järjestelmän stabiilisuus
Järjestelmän stabiiliudesta lähde täällä sekä täällä.
Aloitetaan Ljaputinovin stabiiliudesta. Olkoon autonominen dynaaminen systeemi
\begin{equation}x' = f(x(t)), x(0)=x_0, \end{equation}
jolla on olemassa tasapainopiste
\begin{equation}x_{\epsilon}, f(x_{\epsilon})=0. \end{equation}
Tasapainopistettä sanotaan Ljapunov-stabiiliksi, jos jokaista nollaa suurempaa epsilonia kohden on olemassa myös nolla suurempi delta, jolla pätee kaikilla t >0
\begin{equation} ||x(0)-x_{\epsilon}|| < \delta \Longrightarrow ||x(t)-x_{\epsilon}|| < \epsilon \end{equation}
kaikilla t >0.
Jos tasapainopiste toteuttaa ehdon
\begin{equation} ||x(0)-x_{\epsilon}|| < \delta \Longrightarrow \lim_{t \rightarrow \infty} ||x(t)-x_{\epsilon}|| < \epsilon, \end{equation}
on kyseessä asymptoottisesti stabiili piste.
Asymptoottista tasapainopistettä sanotaan eksponentiaalisesti stabiiliksi, jos mielivaltaisilla muuttujilla alfa,beta ja delta >0 pätee
\begin{equation} ||x(0)-x_{\epsilon}|| < \delta \Longrightarrow ||x(t)-x_{\epsilon}|| < \epsilon \leq \alpha ||x(t)-x_{\epsilon}||e^{- \beta t} \end{equation}
Ehdoista ensimmäinen tarkoittaa, että mikäli yhtälöt lähtevät tasapainopisteen läheisyydestä, ne jäävät kiertämään sen välitöntä ympäristöä kykenemättä erkaantumaan siitä. Asymptoottinen stabiilius tarkoittaa, että yhtälöt eivät vain kierrä tasapainopistettä, vaan myös suppenevat sitä kohti. Eksponentiaalisessa tapauksessa suppenemisnopeus on annettua ylärajaa nopeampaa.
Esimerkkejä Ljapunovin stabiiliuden selvittämisestä löytyy enemmän annetuista lähteistä.
Järjestelmän stabiilisuus voidaan myös selvittää seuraavasti. Olkoon mielivaltainen yhtälöpari
\begin{equation} \frac{dy}{dt}=ax-bz. \end{equation}
\begin{equation} \frac{dz}{dt}=-ax+bz+d. \end{equation}
Ensin selvitetään differentiaaliyhtälöiden tasapainopisteet, eli nollakohdat yllä mainituille yhtälölle:
\begin{equation} 0=ax+b. \end{equation}
\begin{equation} 0 =-ax+bz+d. \end{equation}
Seuraavaksi kirjoitetaan samaisen differentiaaliyhtälökaksikon Jacobin matriisi
\begin{equation}J=\begin{bmatrix} a & 0 \\ a & b \end{bmatrix}\end{equation}
josta laskettujen ominaisarvojen
\begin{equation} det(J-\lambda I) = 0 \end{equation}
avulla saadaan selvitettyä funktion keskeiset stabiilisuusominaisuudet. Eli siis jos jatkuvan dynaamisen järjestelmän ominaisarvot ovat reaalisia ja
\begin{equation}\lambda_{1,2} < 0,\end{equation}
on järjestelmä stabiili, kun taas jos on voimassa
\begin{equation}\lambda_{1,2} > 0\end{equation}
\begin{equation}\lambda_{1} < 0, \lambda_{2}>0,\end{equation}
on järjestelmä epästabiili. Lisäksi jos reaaliosa on nolla, on järjestelmä silloinkin epästabiili. Jos ominaisarvot ovat imaginäärisiä, ja reaalinen osa on negatiivinen, on järjestelmä stabiili. Muutoin kyseessä on epästabiili järjestelmä. Diskreetissä tapauksessa järjestelmä on asymptoottisesti stabiili jos ja vain jos ominaisarvon reaaliselle osalle pätee
\begin{equation}|\lambda_{1,2}|<1.\end{equation}
Jatkuvassa tapauksessa järjestelmä on asymptoottisesti stabiili jos ja vain jos ominaisarvojen reaaliosat ovat negatiivisia.
Nämä tiedot riittävät tässä vaiheessa mallinnusta koskevien blogipostausten ymmärtämiseen. Tilastollista mallintamista, optimointia ja todennäköisyyslaskentaa koskevia osuuksia käsitellään erikseen myöhemmin.
Ei kommentteja:
Lähetä kommentti