Peliteoria ja ekologia, osa 1: Nashin tasapaino, evoluutio ja ESS

ESS-lähde otettu täältä, minkä ohella ohella käytössä on ollut myös Smithin ja Pricen kirja. En päässyt käsiksi Thomasin vaihtoehtoista ESS-määritelmää käsittelevään aineistoon, joten tyydyin sen kohdalla tylsästi vain Wikipedian artikkeliin.

Vangin dilemma. Nashin tasapaino merkitty punaisella. Tässä tilanteessa kumpikaan osapuoli ei voi yksipuolisesti parantaa asemaansa muuttamalla strategiaansa, joten Nashin tasapaino on ruudussa (2,2).

Formaalimmin muotoiltuna: Olkoon kuvatunlainen nelikenttä sekä strategiat S ja T, jolloin siis diagonaali vasemmalta oikealle on (S,S) ja (T,T). Tällöin Nashin tasapaino saavutetaan tilanteessa, jossa
\begin{equation}E(S,S) \geq E(S,T),\end{equation}
eli kumpikaan osapuoli ei voi yksipuolisesti parantaa asemaansa muuttamalla strategiaansa. Nashin tasapaino ei välttämättä kuitenkaan ole pareto-optimaalinen, jolloin siis saavutettu tasapaino olisi kirjaimellinen optimitilanne kummallekin pelaajalle. Vangin dilemmassa ylempänä vangit pääsisivät yhteensä vähemmällä vaikenemalla.

Evolutionary Stable Strategy eli ESS voidaan kirjoittaa edellisen määritelmän tavoinS != T
\begin{equation}E(S,S) > E(S,T) \ \textbf{tai} \end{equation}
\begin{equation}E(S,S)=E(S,T) \ \textbf{ja} \ E(S,T)>E(T,T) \end{equation}
Määritelmän ylempi osa tarkoittaa "vahvaa Nashin ehtoa", eli tilannetta, jossa strategiaa muuttamalla ei voi yksipuolisesti parantaa tilannettaan, mutta jossa ei ole edes yhtä hyvää lopputulosta tarjolla, vaan pelkästään heikompia. Alemmassa oletetaan kolme lopputulemaltaan identtistä strategiaa sekä yksi muita huonompi. Jo määritelmästä siis huomataan, että Nashin tasapaino ei välttämättä aina ole ESS. Yllä kuvatussa vangin dilemmassa Nashin tasapaino on ESS, sillä kilpailevat strategiat (S,T) ja (T,S) ovat strategiaa (S,S) heikompia lopputulokseltaan. Tässä tapauksessa myös E(T,T) on ESS. E(T,T) on myös pareto-optimaalinen.

Tavallisen ESS-mallin ohella on myös olemassa "vahva" määritemä jonka mukaan kun S != T, pätee
\begin{equation}E(S,S) \geq E(S,T) \ \textbf{ja} \end{equation}
\begin{equation} E(S,T)>E(T,T). \end{equation}
Vahvan määritelmän mukaan ESS on Nashin tasapaino, jolle pätee lisäksi aiempi ESS-ehto. Vahva ESS ei välttämättä ole tavanomainen tai seuraavassa esitettävä heikko ESS. Tässä tapauksessa Nashin tasapaina jo tavallinen ESS eivät ole vahvasti ESS, sillä lopputulokseltaan paras strategia ei ole vaihtoehtoja heikompi. Vahvan määritelmän mukainen ESS voisikin siis löytyä tässä tapauksessa strategiasta (T,T), sillä tällöin se on kaikkia vaihtoehtoja parempi, mutta strategia (S,S) ei voi täyttää määritelmän alemman osan vaatimusta. Tällöin strategia (T,T) on myös pareto-optimaalinen.

Weakly Evolutionary Stable Strategy eli WESS voidaan kirjoittaa edellisen määritelmän tavoin, S != T
\begin{equation}E(S,S) > E(S,T) \ \textbf{tai} \end{equation}
\begin{equation}E(S,S)=E(S,T) \ \textbf{ja} \ E(S,T) \geq E(T,T) \end{equation}
Tällöin siis avautuu mahdollisuus, että kaikki strategiayhdistelmät ovatkin lopputulemaltaan yhtä hyviä. Vangin dilemman Nashin tasapaino ja ESS on määritelmän ylemmän osan perusteella myös heikko. Strategia (T,T) on paitsi heikko ESS, myös pareto-optimaalinen.

Jatketaan aiempia määritelmiä uusilla tuloksilla.

Jos strategialle S != T pätee
\begin{equation}E(S,T)>E(T,T), \end{equation}
on kyseessä on lokaalisti ylivertainen strategia. Tällöin kahden strategia S tuotta lähtökohtaisesti aina paremman lopputuloksen strategiaa T vastaan pelattuna.
Jos taas on olemassa sellainen ũ>0 ja u välillä (0,ũ), joilla pätee
\begin{equation}E(S, uT + (1-u)S)>E(T,uT+(1-u)S),\end{equation}
on strategialla S tasainen invaasiomuuri. Tällöin jos populaation alueella on pienempi kilpaileva populaati strategialla T, strategiaa S käyttävä populaatio hiljalleen syrjäyttää kilpailijansa luonnollisen kilpailuetunsa kautta. Oletuksena kaikki ryhmän jäsenet pitäytyvät samassa yksittäisessä strategiassa.

Seuraavat kolme määritelmää ovat yhtenevät:

1. Strategia on vahva ESS.
2. Strategialla on tasainen invaasiomuuri.
3. Strategia on lokaalisti ylivertainen.

Viimeiset kaksi määritelmää ja teoreema ovat Hofbauerin artikkelista, johon en pääse toistaiseksi käsiksi. Hofbauerin artikkelissa on tähän kuitenkin olemassa myös todistus, joten jos joskus satun sen löytämään, saatan sen käydä täällä tarkemmin läpi. Paremman puutteessa käytetään lähteenä tässä Stanfordin yliopiston filosofian laitoksen tieteellisiin julkaisuihin erikoistuneelta mainiolta SEP-sivustolta/tietokannasta löytyvää artikkelia. Strategian ylivertaisuus voidaan ainakin johtaa suoraan vahvan ESS:n määritelmästä.

Seuraavaan lähde täältä. En pääse lukemaan Sigmundin ja Nowakin alkuperäisartikkelia, joten käytän tässä vain sekundaarista lähdettä. Seuraavassa on sovellettu ESS-teoriaa populaatiokokoihin. Todellisessa maailmassa populaatioiden välinen dynamiikka nimittäin riippuu pelkän strategian ohella myös elintilasta ja resursseista kilpailevien yksilöiden määristä. Tätä tarkoitusta varten määritellään  myös erilliset kriittiset rajat populaatiokoille sekä näiden vaikutukselle ryhmien välisessä kilpailussa.

Olkoon evolutiivisia strategioita kuvaava matriisi muotoa.

Matriisin strategioiden E_A ja E_B kelpoisuus voidaan ilmaista muodossa
\begin{equation}E_A = ap_A +bp_A\end{equation}
\begin{equation}E_b = cp_B +dp_B.\end{equation}
Tällöin ehto mutaation A invaasiolle on
\begin{equation}E_A > E_B, \ eli \ p_A > \frac{d-b}{a-c}p_B. \end{equation}
Edellisestä huomataan, että strategioiden välinen siirtymäpiste on ehto
\begin{equation}p_A = \frac{d-b}{a-c}p_B\end{equation}
Oletetaan seuraavaksi, että a>c, tällöin voidaan sama kirjoittaa
\begin{equation}\lambda = \frac{p_A}{p_B}\end{equation}sekä invaasiokynnys  muodossa
\begin{equation}\lambda_0 = \frac{d-b}{a-c}.\end{equation}
Kun pätee
\begin{equation}\lambda_0 = \lambda, \end{equation}
kaksi strategiaa ovat tasapainossa, mutta kun siirrytään epäyhtälöihin, valloittaa toinen strategia elintilaa toiselta. Tällöin mutaatiot ja kilpailevat populaatiot syrjäyttävät vähitellen alkuperäispopulaatiota - tai toisin päin. Invaasiokynnyksen ollessa pieni vähäisemmänkin ulkopuolisen ryhmän on helppoa tunkeuta vallitsevan populaation elinalueille, ja homogeenisen populaation ylläpitäminen käy vaikeammaksi. Yllä annettu esitys siis perustuu sellaisenaan viimeksi annettuun lähteeseen.

Aiemmasta peto-saalismallista ja sen yhteydestä ESS-malliin täällä. En nyt ala turhia referoimaan erinomaisen tekstin sisältöä tänne, mutta sanotaan nyt vaikka, että dynaamisessa tapauksessa aiemmat stabiliteettitulokset sekä erityisesti asymptoottista stabiiliutta koskeva teoria osuvat näppärästi yhteen ESS-strategian kanssa. Järjestelmän ollessa stabiili populaatio kykenee siis pitämään puolensa mutaatioita vastaan.

Peliteorian dynaamisempa puolta tullaan käsittelemään erikseen ESS-sarjan myöhemmissä osissa.