Ekologinen kaavakokoelma

Tähän postaukseen olen pyrkinyt kokoamaan lyhyesti ekologisen sovellusalan kaavoja aiemmista postauksistani. Pidän tarkoituksella turhat selittelyt mahdollisimman lyhyenä, ja pyrin keskittymään vain olennaiseen. Lisätietoa malleista ja niitä koskevista ominaisuuksista löytyy aihetta tarkastelevista blogipostauksista. Poikkeuksena kaksi viimeistä mallia, joista en ainakaan kirjoitushetkellä ole julkaissut erillisiä kirjoitelmia.

Kasvumallit

Kahdesta vakiona käytetystä kasvumallista eksponentiaalinen kasvaa kiihtyvää tahtia ja sopiikin siksi ekologisia sovelluksia paremmin esimerkiksi koronkorkoa tai taloudellista kasvua kuvaaviin malleihin. Logistinen kasvu taas olettaa kasvun tasaantuvan, ja mallin on siksi havaittu sopivan edellistä paremmin myös ekologisiin ja väestötieteellisiin sovelluksiin.

Eksponentiaalinen kasvu

\begin{equation}\frac{dN}{dt}=(b-d)N(t)  \end{equation}

Logistinen kasvu

\begin{equation}\frac{dN}{dt}=rN(1-\frac{N}{K}). \end{equation}

Peto-saalismallit

Peto-saalis-mallit kuvaavat petoeläinten sekä niiden saaliiden välistä dynamiikkaa. Lotka-Volterra on alan klassikko ja yksi vanhimmista lajissaan, mutta mallin epämääräiset oletukset mm. populaatioiden kasvun ja petojen loputtoman ruokahalun suhteen johtivat nopeasti vaihtoehtoisten mallien kehittämiseen. Kahdesta suositumpi, Arditi-Ginzburg, painottaa petojen ja saaliseläinten välistä suhdetta dynamiikassaan, perusajatuksena siis, että liian vähä saalistiheys johtaa petojen harvenemiseen, mutta myös liian suuri petojen tiheys saaliiden vähenemiseen. Rosenzweig-MacArthur ottaa huomioon pelkän saalistuksen ohella myös eläinten luonnollisen poistuman. Molemmat mallit ovat erittäin herkkiä lähtöoletuksille sekä käytetyille funktioille, joten näiden kanssa on oltava tarkkoja.

 Lotka-volterra

\begin{equation} \frac{dx}{dt} = \alpha x - \beta xy \end{equation}
\begin{equation} \frac{dy}{dt} = \delta xy - \gamma y, \end{equation}

Arditi-Ginzburg

\begin{equation} \frac{dx}{dt}=f(x)x-g(\frac{x}{y})y \end{equation}
\begin{equation} \frac{dy}{dt}=\alpha g(\frac{x}{y})y -\beta y \end{equation}

Rosenzweig-MacArthur

\begin{equation} \frac{dx}{dt}=rx(1-\frac{x}{K})-yh(x) \end{equation}
\begin{equation} \frac{dy}{dt}=y(-\delta+\gamma h(x)) \end{equation}

Lajien välinen kilpailu

Lajien välisessä kilpailussa yksi tai useampi samasta elintilasta ja ekologisesta lokerosta kilpaileva laji on mallinnettu logistisen kasvumallin mukaan. Tässä tapauksessa oletuksena siis on, että elintilan resurssit kykenevät elättämään vain tietyn määrän eläimiä. Kahden lajin kesken voi syntyä myös tasapaino, jolloin molemmat kykenevät ylläpitämään elinkelpoista populaatiota.

Logistinen kilpailumalli

\begin{equation} \frac{dN_i}{dt} = r_i N_i (\frac{K_i-N_i}{K_i}) \end{equation}

Evoluutiomallit

Evoluutiomalleissa mallinnetaan valittujen alleelien siirtymistä sukupolvelta toiselle. Wright-Fisher mallissa oletetaan, että siirtymä sukupolvien välillä tapahtuu kerralla ilman hallitsemattomasti sekaisin lisääntyviä yksilöitä. Wright-Fisherin binomilaskentaan perustuva malli perustuukin eläimiä paremmin kausittain lisääntyvän ja lakastuvan kasvikunnan ilmiöiden kuvaamiseen. Eläinkunnan mallintamiseen soveltuvassa Moran-mallissa Markov-säännön mukaisesti yksilöt voivat vapaasti siirtyä tilasta toiseen, eli lisääntyä tai kuolla, ja eri sukupolvet voivat elää ja lisääntyä sekaisin keskenään.

Wright-Fisher -malli

\begin{equation}\binom{2N}{k}p^q q^{2N-k}=\frac{(2N)!}{k!(2N-k)!}p^q q^{2N-k}\end{equation}

Moran-malli

\begin{equation}P_{i,i-1}=\frac{N-1}{N}\frac{i}{N} \end{equation}
\begin{equation}P_{i,i}=1-P_{i,i-1}-P_{i,i+1}\end{equation}
\begin{equation}P_{i,i+1} = \frac{1}{N} \frac{N-1}{N} \end{equation}