Peliteoria ja ekologia, osa 2: tasapainotiloja ja ESS

Sekastrategia-Nash

Tähän sopii lähteeksi tämä. Palataan aiempaan vangin dilemmaan.

Oletetaan, että puhtaan valinnan sijaan puhutaankin tunnetuista todennäköisyyksistä. Oletetaan esimerkiksi, että molempien pelaajien strategioiden todennäköisyydet ovat p,1-p,q ja 1-q, jolloin strategioiden mukaisiksi odotusarvoiksi saadaan
\begin{equation}2*p+3*(1-p)-3*p-(1-p)=0,\end{equation}
jolloin siis p = 2/3, sekä
\begin{equation}q*2+(1-q)*3-q*3-(1-q)=0,\end{equation}
jolloin q = 2/3
Näillä todennäköisyyksillä molempien odotusarvot ovat n. 2.3. Piirretään näiden perusteella kuvaaja

josta nähdään molemmat puhtaat sekä sekastrategia-Nashit. Toisin sanoen, kun q=p=0 ja q=p=1, on kyseessä Nashin tasapaino, sekä tässä tapauksessa sekastrategia-Nash kun q=p=2/3 ja q=p=1/3. Kummassakin tapauksessa tasapainopisteitä ovat siis (2,2) ja (1,1).

Korreloiva sekä bayesilainen Nash

Pätevä artikkeli löytyy Wikipediasta. Tähän kaveriksi Rogersin Game Theory: Analysis of Conflict. Bayesiläiseen peliin erikseen juttua täällä.   

Korreloivassa Nash-tasapainossa oletetaan pelaajien lisäksi jokin kolmas taho, kuten todennäköisyydet laskeva tietokone tai asiantuntija, joka antaa pelaajille suosituksen ja luvut valintojensa suhteen. Jos pelaajat päättävät pitäytyä annetuissa suosituksissa poikkeamatta niistä, on kyseessä korreloiva Nashin tasapaino. Kyseessä on vähän kuin edelleen jatkokehitelty versio aiemmasta sekastrategiamallista.

Bayesilaisen pelin Nash-tasapaino jatkaa edelleen saman todennäköisyysajattelun kehittelyä. Tässä versiossa pelaajat eivät tiedä toistensa voitoista. Tästä voisi toimia esimerkkinä vaikkapa suljettu huutokauppa, jossa ainoastaan tarjoajat tietävät oman hintansa. Tässä tapauksessa pelaajat pyrkivät jälleen maksimoimaan odotettavissa olevan hyödyn valinnoillaan, ottaen samalla huomioon hyötyyn valintoja koskevat todennäköisyydet. Valittujen maksimoitujen hyötyjen mukainen strategia vastaa bayesilaista Nashin tasapainoa.

Koska kaikki todennäköisyyspainotteiset tasapainotilat ovat niin lähellä toisiaan, en viitsi edes keksiä niille ylimääräisiä esimerkkejä.

Stackelberg-tasapaino

Aiemmissa tasapainotiloissa pelaajat tekivät päätöksensä samanaikaisesti tietämättä toistensa siirroista. Stackelberg-tasapaino perustuu kahden hengen pelattavaan Markov-ketjuna pelattavaan vuoropohjaiseen peliin, jossa pelaajat tietävät toistensa edellisen siirron päätöstä tehdessään. Tällön tasapainopiste on kohdassa, jossa molemmat pelaajat tekevät optimisiirtonsa. Tyypillisesti tällöin ensimmäisenä siirtonsa tekevä pelaaja saa seuraajaa paremman tuloksen.

Seuraava esimerkki on ensimmäisestä osasta:

Stackelbergin kohdalla pelaajat eivät siis tee samanaikaista umpimähkäistä päätöstä vaan ottavat vuoroja. Jos ensimmäinen pelaaja maksimoi hyötynsä, tämä valitsisi vaikenemisen. Havaittuaan ensimmäisen pelaajan valinnan toinen pelaaja maksimoisi oman hyötynsä vaikenemalla. Näin päädytään Stackelbergin tasapainoon, joka tällä kertaa on myös ESS ja Nashin tasapaino.

Käytännössä Stackeklberg-tasapainon idea on helposti sovellettavissa markkinoiden duopoli-tilanteeseen: tällöin samoista apajista kilpailee kaksi yritystä, jotka tekevät siirtoja esim. hinnoittelullaan.