SI-mallin johtaminen
Aiheen johdannoksi esitellään Charnovin monisteiden esittelemä tapa tartuntatautimallin määrittelemiseksi. Aloitetaan seuraavasti tunnetuksi oletetusta kaavasta
\begin{equation}I(t+\triangle t) = I(t)+ \beta \triangle t S(t) I(t)\end{equation}
missä t kuvaa aikaa, I(t) tartuntojen määrää ja S(t) alttiiden määrää hetkellä t sekä beta kontaktien määrää aikayksikössä, eli leviämisintensiteettiä. Viemällä I(t) funktion vasemmalle puolelle, jakamalla molemmat puolet kolmio-t:llä, kun kolmio-t lähestyy nollaa, saadaan tartuntojen määrän muutosta kuvaava differentiaaliyhtälö
\begin{equation} \frac{dI}{dt}=\beta SI, \end{equation}
joka on tuttu myöhemmistä aiheen variaatioista. Myöhempiä malleja ei johdeta yhtä perusteellisesti, vaan käytännössä aloitetaan valmiista ja annetuiksi oletetuista differentiaaliyhtälöistä.
SIR-malli
SIR-malli kuvaa epidemian dynamiikkaa olettamalla olevaksi kolme tilaa: alttiiden S, todetun tautitapauksen I sekä parantuneen R. Tässä mallissa
ei oteta huomioon syntymiä eikä kuolemia. Kerran saatu immuniteetti ei
häviä, eikä samaan tautiin voi sairastua toistamiseen. Näistä
oletuksista on erilaisia vapaampia muotoiluja, kuten SIRI-malli, jossa
henkilölle ei muodostu kestävää immuniteettiä, SIRD-malli, jossa
henkilön kuolema otetaan huomioon, sekä joukko erilaisia rokotusmalleja,
joista tässä käsiteltävässä immuniteetti on pysyvä. Vaihtoehtoisia muotoiluja oletuksineen käsitellään erikseen myöhemmin.
Yksinkertainen SIR-malli muodostuu differentiaaliyhtälöistä
\begin{equation} \frac{dS}{dt}=\frac{-\beta SI}{N} \end{equation}
\begin{equation} \frac{dI}{dt}=\frac{\beta SI}{N} -\gamma I\end{equation}
\begin{equation} \frac{dR}{dt}=\gamma I. \end{equation}
SIR-mallin parametreista beta kuvaa tartuntaintensiteettiä ja gamma poistumis- tai parantumisintensiteettiä riippuen miten mallia tulkitaan. Kahden parametrin avulla voidaan edelleen määritellä perustarttuvuusluku
\begin{equation} R_0 = \frac{\beta}{\gamma}, \end{equation}
joka karkeasti tarkoittaa odotettujen tartuntojen määrän. Seuraavaksi huomataan, että sijoittamalla perustarttuvuusluku tartuntojen muutosta kuvaavaan differentiaaliyhtälöön, saadaan
\begin{equation}\frac{dI}{dt}=(R_0 \frac{S}{N}-1)\gamma I, \end{equation}
mistä edelleen huomataan, että kun pätee
\begin{equation}R_0 S > N, \end{equation}
on infektioiden muutos samalla kasvava, eli tartuntojen määrä lisääntyy ja epidemia on kiihtymisvaiheessa. Käänteisessä tapauksessa tartuntojen määrä vähenee ja epidemia on asettumassa. Sama voitaisiin todeta toisin, eli olettamalla likimain jokaisen populaatioon kuuluvan yksilön olevan altis eli S = N, seuraisi siitä, että epidemian käynnistymiseen riittää ehto
\begin{equation}R_0 > 1, \end{equation}
sekä talttumiseen käänteinen tulos.
SIR-mallin kuvaajassa näkyvät eri ryhmien muutosten suunnat sekä kasvunopeudet. Seuraavan SIR-mallin kuvaajaan löytyy koodi täältä.
Kuvaajasta huomataan, että alttiiden määrä vähenee taudin leviämisen sekä siitä parantuneiden kasvamisen mukana. Kaikki muutosnopeudet tasaantuvat ajan mittaan. Samaista koodia sovelletaan mahdollisuuksien mukaan myös saman mallin eri sovelluksissa, kuten seuraavassa SIRV-mallissa.
SIRV-malli
Määritellään johdannoksi rokotusmalliin seuraava tulos. Olkoon S_0 alttiiden prosentuaalinen osuus hetkellä 0, olkoon lisäksi p rokotettujen osuus väestöstä, ja olkoon lisäksi voimassa S_0=(1-p). Jos oletetaan rokotuksen tuoma immuniteetti pysyväksi, voidaan kirjoittaa edellisen kohdan perustarttuvuuslukua hyödyntäen seuraava ehto epidemian käynnistymiselle:
\begin{equation} R_0 (1-p) > 1. \end{equation}
Annetun ehdon avulla voidaan määritellä rokotettavien minimäärä p* epidemian estämiseksi, jolloin voidaan kirjoittaa
\begin{equation} p^* = 1-\frac{1}{R_0}.\end{equation}
SIRV-malli on perusteiltaan kuin aiemmin kuvailtu yksinkertainen SIR-malli, mutta siinä on otettu huomioon rokotuksen vaikutus. Rokotus antaa tässä mallissa pysyvän immuniteetin, eikä tautiin kuolleita oteta tässäkään huomioon.
\begin{equation} \frac{dS}{dt}=\frac{-\beta SI}{N} -vS\end{equation}
\begin{equation} \frac{dI}{dt}=\frac{\beta SI}{N} -\gamma I\end{equation}
\begin{equation} \frac{dR}{dt}=\gamma I \end{equation}
\begin{equation} \frac{dV}{dt}=v S \end{equation}
Tässä mallissa parametrit tarkoittavat samaa kuin edellisessä mallissa, mutta uutena SIRV-malliin on lisätty rokotusintensiteettiä kuvaava parametri v. Kun muut parametrit ovat samat kuin ensimmäisessä ja rokotusintensiteetti v = 0.005, saadaan kuvaaja
Kuvasta siis näemme, että rokotuksilla saadaan taudin leviäminen hallintaan ja immuniteetti puolelle samasta määrästä ihmisiä, jotka saivat saman sairastamalla taudin. Infektoiden määrän kasvuvauhtia saatiin näin loivennettua ja huippu madallettua.
SIRV-mallissa käytetty Python-koodi, muokattu aiemmin linkatusta esimerkistä:
import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt
N = 1000
I0, R0, V0 = 1, 0, 0
S0 = N - I0 - R0 -V0
beta, gamma, v = 0.2, 1./10, 0.005
t = np.linspace(0, 160, 160)
def deriv(y, t, N, beta, gamma, v):
S, I, R, V = y
dSdt = -beta * S * I / N - v * S
dIdt = beta * S * I / N - gamma * I
dRdt = gamma * I
dVdt = v * S
return dSdt, dIdt, dRdt, dVdt
y0 = S0, I0, R0, V0
ret = odeint(deriv, y0, t, args=(N, beta, gamma,v))
S, I, R, V = ret.T
fig = plt.figure(facecolor='w')
ax = fig.add_subplot(111, facecolor='#dddddd', axisbelow=True)
ax.plot(t, S/1000, 'b', alpha=0.5, lw=2, label='Susceptible')
ax.plot(t, I/1000, 'r', alpha=0.5, lw=2, label='Infected')
ax.plot(t, R/1000, 'g', alpha=0.5, lw=2, label='Recovered with immunity')
ax.plot(t,V/1000, 'y', alpha=0.5, lw=2, label = 'vaccinated' )
ax.set_xlabel('Time /days')
ax.set_ylabel('Number (1000s)')
ax.set_ylim(0,1.2)
ax.yaxis.set_tick_params(length=0)
ax.xaxis.set_tick_params(length=0)
ax.grid(b=True, which='major', c='w', lw=2, ls='-')
legend = ax.legend()
legend.get_frame().set_alpha(0.5)
for spine in ('top', 'right', 'bottom', 'left'):
ax.spines[spine].set_visible(False)
plt.show()
